全面解锁：抛物线公式的终极汇总

抛物线所有公式总结

抛物线作为高中数学的一个重要知识点，在解题过程中涉及多个公式。熟练掌握这些公式，能够帮助学生更好地理解和解决相关题目。以下是对抛物线公式的全面总结。

一、抛物线的标准方程

抛物线的标准方程主要有四种形式，分别对应不同的开口方向和顶点位置。

1. 开口向右：y^2 = 4px（p＞0）

焦点坐标：(p, 0)

准线方程：x = -p

离心率：e = 1

通径长：2p

抛物线对称轴：y=0

范围：x≥0

2. 开口向左：y^2 = -4px（p＞0）

焦点坐标：(-p, 0)

准线方程：x = p

离心率：e = 1

通径长：2p

抛物线对称轴：y=0

范围：x≤0

3. 开口向上：x^2 = 4py（p＞0）

焦点坐标：(0, p)

准线方程：y = -p

离心率：e = 1

通径长：2p

抛物线对称轴：x=0

范围：y≥0

4. 开口向下：x^2 = -4py（p＞0）

焦点坐标：(0, -p)

准线方程：y = p

离心率：e = 1

通径长：2p

抛物线对称轴：x=0

范围：y≤0

二、抛物线的顶点式方程

抛物线的顶点式方程为：y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是抛物线的顶点坐标，a 决定抛物线的开口方向和大小。

当 a＞0 时，抛物线开口向上；

当 a＜0 时，抛物线开口向下；

抛物线的对称轴为直线 x = h；

抛物线的顶点为 (h, k)；

抛物线与 y 轴的交点为 (0, ah^2 + k)。

三、抛物线的性质公式

1. 焦距：抛物线的焦距为 2p（p 为焦点到准线的距离）。

2. 离心率：抛物线的离心率恒为 1。

3. 准线：抛物线的准线方程为 x = -p（开口向右时）或 x = p（开口向左时）；y = -p（开口向上时）或 y = p（开口向下时）。

4. 通径：抛物线的通径长为 2p。

5. 焦点弦长：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB 和 CD，则 AB 和 CD 的长度之积为 |AB| × |CD| = (4p^2)/sin^2θ（θ 为弦 AB 的倾斜角）。

6. 切线方程：

若抛物线方程为 y^2 = 2px（p＞0），则过焦点 F 的切线方程为 y = kx - p/2k（k≠0）；

若抛物线方程为 x^2 = 2py（p＞0），则过焦点 F 的切线方程为 x = ky - p/2k（k≠0）。

7. 弦长公式：

若直线 l 过抛物线 y^2 = 2px（p＞0）的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点，则 |AB| = x1 + x2 + p（x1 和 x2 为 A、B 两点的横坐标）；

若直线 l 不过抛物线 y^2 = 2px（p＞0）的焦点 F，但与抛物线相交于 A、B 两点，则 |AB| = √(1 + k^2) × √((x1 + x2)^2 - 4x1x2)（k 为直线 l 的斜率，x1 和 x2 为 A、B 两点的横坐标）。

8. 中点弦公式：

若直线 l 是抛物线 y^2 = 2px（p＞0）的中点弦，且 M(x0, y0) 是弦 AB 的中点，则直线 l 的方程为 yy0 = p(x + x0)（y0≠0）；

若